一、广义Ginzburg-Landau方程和Rangwala-Rao方程的显式精确解（论文文献综述）
邹灵果[1]（2021）在《基于Jacobi椭圆函数的CH-γ方程的求解方法》文中进行了进一步梳理利用积分分支法结合Jacobi椭圆函数积分,研究了CH-γ方程。在不同的参数条件下,结合Jacobi椭圆函数积分,获得了CH-γ方程的各种参数精确解和一种显式精确解。
李瑞翔[2]（2021）在《Schr（?）dinger方程与Navier-Stokes方程的奇摄动解与孤立子》文中提出孤立子是非线性科学的重要研究内容之一,孤立子一般可用非线性色散偏微分方程描述,因为非线性色散偏微分方程中的色散效应与非线性效应的相互平衡是产生孤立子的主要原因。孤立子最早的发现来源于浅水波方程,事实上有许多描述水波的方程都能发现孤子解。Navier-Stokes方程常用于描述粘性不可压缩流体的运动,一般的Navier-Stokes方程很难求出精确解,但是结合连续性方程与物态方程可以推导出可得到孤子解的方程,比如浅水波KdV方程、KP方程,深水波非线性Schr（?）dinger方程。若N-S方程中的粘滞系数较小,推导出的方程也会带小参数,即奇摄动方程。考虑孤子是色散效应与非线性效应共同作用的结果,在色散项前带上小参数会对孤子的形状,产生的位置产生影响。本文主要讨论奇摄动KdV-Burgers方程,奇摄动KP方程和一维奇摄动非线性Schr（?）dinger方程,运用奇摄动展开法,构造形式渐近解,求出内外解首项表达式,证明内外解高阶项解的存在唯一性,最后用余项估计证明解的一致有效性。主要内容如下1、讨论了一类具有大雷诺数且弱频散性的KdV-Burgers方程,在数学上表示为一类奇摄动KdV-Burgers方程。KdV-Burgers方程中含有的非线性项与频散项的互补作用形成稳定向前传播的孤立子,通过数学分析,描述了孤立子的传播途径和传播速度等物理量的发展变化规律。通过奇摄动展开方法,构造该问题的渐近解。首先用黎曼-厄肖恩方法求得退化解,得到了简单波,该简单波波形中的任意一点与初始点都存在一个传播速度差,这使得波在传播过程中波形不断畸变,最终形成冲击波面,即间断面,在它的两侧质点的速度有一个跳跃,且随时间不断变化;其次,在退化解的间断曲面处作变量替换,构造一种修正的行波变换,得到了内解展开式的孤子解,并证明内外解的存在性与唯一性;最后通过一致有界逆算子的存在性做了余项估计,并得到渐近解的一致有效性.结果表明,KdV-Burgers方程在大雷诺数且弱频散性的性质下,扰动集中在退化解的间断面附近,孤立子链接两侧质点,其传播途径不是时间与空间的线性形式,而是沿着退化解的间断面附近传播,形成稳定的波形。2、讨论了一类具有弱频散性的二维KdV方程,数学上表示为一类奇摄动KP方程。通过奇摄动展开方法,构造该问题的渐近解。首先求解退化解,用黎曼-厄肖恩方法得到了简单波,简单波会在传播过程中形成间断面。其次,在退化解的间断面处作变量替换,构造一种修正的行波变换,得到了内解展开式,内解首项的方程用直接积分法求得单孤子解,并用Hirota双线性方法后再用奇摄动展开法求得双孤子解。最后做余项估计,得到渐近解的L2估计式,证明了渐近解的一致有效性。3、讨论了一类带外势的非线性Schr（?）dinger方程。NLS方程中含有的非线性效应与色散效应的互补作用形成稳定向前传播的光孤子,光孤子在通讯领域发挥着巨大的作用。通过奇摄动展开方法,构造该问题的渐近解。首先用两种展开法求外解,得到外解表达式,外解首项存在临界点,且临界点只与外势有关;其次,在初始时间处构造内解,得到了外界首项与初值之间的矫正项,再次,在外解的临界点处和初始时间处构造内解,使用行波变换法求解内解首项,得到了孤立子,并证明外解内解的存在性,最后,用极值原理做了余项估计,证明了渐近解的一致有效性。结果表明,带外势的非线性Schr（?）dinger方程通过奇摄动展开法展开后,初值与外解首项的差异并不会导致孤立子的产生,孤立子会产生在外势的极值点处,说明外势对原NLS方程的影响是改变了孤立子的产生位置。在研究过程中,我们综合应用了常微分方程,偏微分方程,数学与物理方程,非线性声学,数学分析,奇摄动理论等多个方面的知识,得到了孤立子相关的结论。
李钊,韩天勇,黄春[3]（2020）在《整合时空分数阶Cahn-Allen方程的新精确解》文中研究指明探讨了整合时空分数阶Cahn-Allen方程.该方程描述铁合金相分离过程,常用于凝固和形核问题.通过分数阶行波变换,利用广义（G’/G）-展开法研究了整合时空分数阶Cahn-Allen方程的精确解.通过图像模拟,给出了部分精确解随时间和空间演化的坐标图.
代猛[4]（2019）在《立方Schr（?）dinger方程的半隐格式BDF2-FEM无条件最优误差估计》文中研究指明非线性Schr（?）dinger方程是研究偏微分方程数值解的一个基本方程.在研究该方程的数值解过程中,人们已经建立起了多种数值计算方法,例如:有限差分法、有限元方法、有限体积法、几何体积法、分步傅里叶变换法、傅里叶级数分析法和拟谱方法等.这些方法各有千秋.在研究非线性Schr（?）dinger方程的过程中,立方Schr（?）dinger方程具有鲜明的代表性,比起一般的非线性方程,该类方程的计算和推导证明直观简洁.因此,本文研究立方Schr（?）dinger方程的二阶向后差分有限元方法（BDF2-FEM）的无条件最优误差估计问题.由于非线性Schr（?）dinger方程的复杂性,首先,本文将该误差分为时间误差和空间误差两部分,分开计算误差估计,数学逻辑清晰,计算简洁明了.通过引入一个时间离散方程,得到时间离散方程解的一致有界性,并给出时间离散方程的误差估计,其次,运用有限元方法求解非线性Schr（?）dinger方程的数值解.从而得到全离散有限元解的误差估计,进一步得到该方程在半隐格式下BDF2-FEM无条件最优误差估计.最后,通过数值算例验证了所给理论结果的有效性.从这个例子看出在L2范数下线性有限元误差估计与h2成正例,且二次有限元的误差估计与h3成正例,数值结果与理论分析一致.在固定时间步长T,当网格尺度逐步加细时,在L2范数下线性有限元和二次有限元误差估计基本趋向于常数.因此,原方程的BDF2-FEM算法的稳定性对时间步长无强制条件.最后我们指出该方法可分析其他的非线性抛物型方程。
包霞[5]（2019）在《孤立子理论在中国的发展（1978-1989）》文中认为1834年8月,英国爱丁堡大学的数学教授、优秀的造船工程师罗素在校园附近的联合运河中首次观察到孤立波。1965年,美国数学家克鲁斯卡尔和扎布斯基通过计算机模拟了孤立波的“碰撞”,发现经碰撞后的它们不会改变形状、大小和方向。于是,二人在《Physical Review Letters（物理评论快报）》上发文首次提出了“Soliton”（孤立子）这个名词,以此来强调孤立波的“粒子”性行为与特性,标志着孤立子理论的正式诞生。随着计算机技术的不断发展,人们在物理学、生物学、医学、海洋学、经济学、人口问题等诸多领域都发现了孤立子及与其密切相关的重要问题,孤立子成为非线性科学的三大普适类之一。20世纪70年代后,孤立子理论传入国内,学者们在高校科研院所里开始进行孤立子的研究,先学习国外已有理论成果,再进行有效拓展和理论创新,同时注重培养自己的研究生。这是一个积极良性互动的学习过程,在短短十年里就取得了可喜的成绩,也进一步促进了理论的传播与发展。孤立子理论在中国的研究与发展虽然之前也受到近现代数学史研究者的关注,但是在谈及20世纪数学科学的回顾时基本没有提到孤立子理论的研究与发展,更没有从数学史的角度进行系统的梳理研究,这就无法全面地反映出中国现代数学的研究全貌。因此,本文“孤立子理论在中国的发展（1978-1989）”便具有重要的理论和现实意义。在查阅了大量原始资料和现有研究文献,并采访一些老一辈学者,采用文献分析、归纳分析、调研实践等方法,对中国孤立子理论研究做了较系统的分析总结:1.结合孤立子理论的四个发展阶段,论述1834至1989年间世界孤立子理论研究的主要成果及其意义。2.考查了中国学者在国内外发表的孤立子理论研究论文和已有的研究文献,经过细致筛选,介绍了谷超豪、屠规彰、李翊神、曹策问、郭柏灵等代表性学者的求学之路及学术研究概况,同时介绍了学界其他学者的一些重要研究成果。通过分析归纳,本文首次较为全面地阐述了屠规彰等人的孤立子理论研究工作;总结了中国在孤立子理论领域的主要研究成果,包括反散射方法、B?cklund变换法、Darboux变换法、守恒律、对称及其代数结构、Lax对的非线性化、屠格式、孤子方程的规范等价分类、孤立子的实验数值研究等领域;分析了中国孤立子理论研究的特征及其贡献。3.统计了二十世纪七八十年代在国际上具有影响力的孤立子研究着作。基于中国第一部孤立子理论译着和第一部理论专着的重要性,对这两本书进行了介绍,发掘其历史价值与学术意义。4.通过对前辈的访谈和研读他们留下的手稿和研究文献,尝试梳理出中国孤立子理论研究学者开展的活动,包括全国孤立子与可积系统研讨会、国内主要科研院所的教研、参加国际学术会议,与国外学者的学术交流,从中分析这些活动对中国孤立子理论研究的影响。5.在翻阅大量文献资料的过程中,得到借鉴与启发,进一步探究孤立子理论,构造了KP型方程的新型Darboux变换和广义变系数KdV方程的Lax方程组的求解递推公式,在实践意义上实现了研究数学史的目的之一。本论文包括六章内容。第一章:孤立子理论的发展概况（至1989年）。这一章根据孤立子理论发展的四个阶段,较详细地论述了从孤立波被发现到1989年第三阶段结束的主要研究成果。第一阶段（1834-1954）包括孤立波的发现（1834）、孤立波的数学模型——KdV方程的提出（1895）、Boussinesq方程的提出（1872）、sine-Gordon方程的B?cklund变换（1885）、Cole-Hopf变换（1950,1951）等;第二阶段（1955-1970）包括FPU实验（1955）、孤立子的发现（1965）、怪波理论（1965）、反散射方法的提出（1967）、Lax对特征值问题（1968）、KP方程的提出（1970）等;第三阶段（1971-1989）包括Hirota双线性方法（1971）、光孤子的发现（1973）、延拓结构法（1975）、偏微分方程的Painlevé分析方法（1983）、Lax对的非线性化（1989）、屠格式（1989）等。第二章:孤立子理论在中国的发展概况（1978-1989）。这一章首先从国内外环境阐述了孤立子理论传入中国的起始,考查了国内第一篇关于孤立子理论研究论文的内容和意义,其次再现并阐述了中国孤立子理论研究的代表性学者屠规彰、李翊神、曹策问、郭柏灵、谷超豪等人的求学之路及学术研究概况,最后统计了在世界上具有影响力的孤立子理论着作及中国学者的译着与专着。第三章:中国孤立子理论研究学者开展的活动。本章首先介绍了国内孤立子理论主要研究团队的教研情况,并对中国第一部孤立子理论译着与第一部理论专着分别进行介绍。然后转向与国外学界的互动交流方面,介绍了去海外参加国际学术会议和访学的中国孤立子理论研究学者。第四、五章是中国孤立子理论研究学者开展的具体研究内容——非线性演化方程的孤立子解的求法和解的适定性研究及可积系统研究。首先重点讲述了国内主要研究的非线性演化方程的四种解法:B?cklund变换法（BT）、Darboux变换法（DT）、反散射方法（IST）、Hirota方法的研究背景和国内外发展概况及中国学者的主要研究成果。另外,在梳理中国孤立子理论的过程中也不断受到启发,就其中的Darboux变换法的理论研究进行了新的拓展。其次,从孤子方程的可积性判别、孤子方程的规范等价类、构造有限维可积系统的有效方法—Lax对的非线性化方法、构造无限维可积系统的有效方法——屠格式、寻找守恒律及守恒律个数的猜想证明、构造对称及其代数结构研究等六个方面,详细介绍了国内学者的探讨过程和研究成果。第六章:孤立子的实验数值研究。本章阐述了国内学者在孤立子的实验数值研究方面的突出工作:首先是,吴君汝通过实验发现了非传播的孤立波,该波后来被命名为“吴氏波”（或吴立子）。吴氏孤波的发现证实了孤立波也可能是非传播性的波,而非传播的孤立波比传播的孤立波更具稳定性和重复性,所以它的发现被认为是当代非线性波研究的重大进展。其次是郭本瑜在孤立子解的数值计算方面的工作及成果介绍。总之,本文通过文献考证和文献分析方法,考察分析了国内早期（1978-1989）孤立子理论的论着、名人传记及研究性论文,综述孤立子理论在中国的早期传播、研究与发展,认为1978—1989年这一时期我国孤立子理论研究主要处于培养人才和学习阶段,是迎接孤立子理论在中国大发展的筹备期。在此阶段出现了屠规彰的“屠格式”、曹策问的“Lax对的非线性化方法”、谷超豪的“Darboux矩阵法”等可纳入国际孤立子理论研究前沿的可喜成果且这些方法至今仍广泛应用于可积系统的构造和非线性演化方程求解,是非常有效的方法。
李争康[6]（2019）在《两类非线性薛定谔方程的行波解分岔》文中研究说明非线性微分方程与动力系统行波解分岔的研究是当前国际非线性动力学领域的前沿课题和热点问题.非线性薛定谔方程作为将微分方程和物质波的概念相结合建立起的非线性模型,在非线性光学、等离子体的离子声波、光纤超材料及光纤通信等众多领域都有广泛应用.通过行波变换将非线性薛定谔方程转化为非线性行波系统,光滑行波系统中存在的“孤立波”现象与奇性行波系统中蕴含奇直线等特殊性质导致的“新波”现象,均与许多实际模型中出现的各种复杂物理现象息息相关.本文研究五次衍生非线性薛定谔方程和光纤超材料非线性薛定谔方程的行波解分岔与动力学行为,将为解释和预测实际工程模型提供重要理论依据,主要做了以下工作:（1）根据两类方程特点拟设波函数形式,利用行波变换并分离所得方程的实数与虚数部分,采用不变流形等动力系统理论方法分别将其转化为相应非线性行波系统,并利用时间尺度变换得到奇性行波系统的正则系统.（2）基于平面动力系统分岔理论,结合首次积分和定性分析方法研究参数变换情况下光滑行波系统、奇性行波系统及其正则系统的平衡点分岔、动力学行为与相图分岔.（3）根据行波系统相图轨线与非线性波的对应关系,利用雅可比椭圆函数与双曲函数等数学工具计算精确行波解,并运用Maple符号计算软件对波形图进行数值模拟,得到波函数与时间变量的对应关系.
王文君[7]（2017）在《几类非线性偏微分方程（组）的精确解》文中研究表明随着科学技术的发展,对非线性问题的研究已经贯穿于信息科学、生命科学、空间科学和环境科学等众多领域,在非线性物理学和力学中,常常把复杂的非线性系统简化为非线性演化或发展方程来研究,通过对这些非线性方程的解的研究来确定物理量之间关系。因此,求解非线性方程一直是力学、物理学等领域科学工作者致力于研究的极为重要的问题。本文分为五章:第一章简要地回顾了非线性偏微分方程发展的历史,（G’/G,1/G）-展开法的基本思想,以及本文的主要研究工作。第二章至第四章利用（G’/G,1/G）-展开法研究了带非均匀项的MKdV方程,关于人口问题中的-广义扩散模型和（2 + 1）维长短波方程组,得到了方程多种形式精确解,这些精确行波解由以含参数的双曲函数、三角函数及有理函数表示,结果表明该方法在求解复杂的有实际意义的非线性偏微分方程和变系数偏微分方程精确解时具有简洁性和有效性。第五章研究了非线性的Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程,通过一个非线性变换将该方程约化为对应的线性偏微分方程,并利用分离变量方法获得该约化线性偏微分方程的精确解,然后借助于这个非线性变换得到了原来非线性偏微分方程丰富的精确解。最后对本文工作进行总结,并对今后的研究方向作了展望。
付抒唅[8]（2017）在《Kundu方程的非线性波分支》文中进行了进一步梳理本文用微分方程定性理论和动力系统分支方法来研究一类重要的非线性波方程—Kundu方程,获得了一些新的精确解,揭示了一些有趣的扭波分支现象,给出了分支现象的分支过程图.本文具体的研究工作如下:第一章是绪论,首先概述了非线性波方程的背景、研究现状、求解的主要方法以及取得的成果.然后介绍了一些需要用到的动力系统分支方法以及平面系统的定性理论知识.最后简述了本文的主要内容.第二章运用微分方程定性理论和分支方法研究Kundu方程ut=iuxx+i（c3|u|2+c5|u|4）u+α|u|2ux+βu2ux,在变换u（x,t）=e-iωteiΨ（x-ct）φ（x-ct）=e-iωteiΨ（ξ）φ（ξ）,ξ=x-ct和φ（ξ）=c/2+β/4φ2（ξ）下,首先获得了相对应的平面系统的分支相图,利用分支相图中的特殊轨线求得φ（ξ）,并且得到φ（ξ）在不同的参数变化下表示不同的行波.由φ（ξ）和ψ（ξ）的关系求得Ψ（ξ）,最终得到了由φ（ξ）和ψ（ξ）表示的精确解u（ξ）,在此基础上研究了在不同的参数变化下φ（ξ）具有的特性.最后给出了一个利用Mathematica软件验证精确解的例子.第三章研究的是对第二章中经过变换所求出来的由φ（ξ）所描述的非线性波作进一步分析,考察在参数变化下由φ（ξ）表示的扭波的分支现象,即低扭波可以从高扭波,对称孤立波,爆破波和反对称孤立波分支出来;高扭波可以从三角函数式周期波和椭圆函数式周期波中分支出来,并给出了这些分支现象的具体波形变化图.
林成龙[9]（2017）在《具波动算子非线性Schr（?）dinger方程的数值解法及应用》文中研究表明本文主要从四个方面研究了一类一维具有波动算子的非线性Schr（?）dinger方程的若干问题,第一方面研究了该方程平衡解的稳定性态;第二方面对该方程精确解求解,得到了Jacobi椭圆函数周期解,Lam′e函数多级包络解及若干显式孤波解;第三方面构造了四种不同形式的有限差分格式,证明了其收敛性与稳定性,通过数值例子验证了其精度并比较了各自算法优劣;第四方面研究了该方程扰动情况下行波解的线性稳定性.第一章给出了非线性Schr（?）dinger方程及具波动算子非线性Schr（?）dinger方程的研究背景及研究现状,并列出文章结构集主要内容.第二章运用Jacobi椭圆函数预设法及Jacobi椭圆函数与Lam′e函数结合方法,对具波动算子非线性Schr（?）dinger方程求解,得到方程的Jacobi椭圆函数周期解及Lam（?）函数多级包络周期解,在极限情况下给出了多种显式孤波解.第三章给出了具有波动算子非线性Schr（?）dinger方程的两个守恒律.基于有限差分数值解法,构造了该方程的无条件稳定线性化守恒格式,无条件稳定全隐守恒格式,条件稳定四层显示守恒格式,带参数的条件稳定线性化格式,证明了其收敛性与稳定性,其精度皆为O（τ2+h2）,并通过数值例子验证其精度,守恒性及四种差分格式的优劣.第四章针对具有波动算子非线性Schr（?）dinger方程的行波解的存在性、不稳定性及色散条件关系进行研究,给出了行波解的振荡性、稳定性及不稳定的条件及色散关系.第五章对本文进行总结并对后续研究进行展望.
廖欧[10]（2016）在《两类偏微分方程的精确解及其分支》文中提出众所周知,通过构造性方法求解非线性偏微分方程的精确解是微分方程和计算机代数学研究的核心内容.在本文中,我们首先介绍精确解的理论知识,然后应用齐次平衡法,（G’/G）-展开法获得了一类混合KdV方程的精确解,这些精确解包括有理函数解,三角函数解,孤子解,双曲函数解等.随后运用动力系统的方法,得到该混合KdV方程更多更完整的精确解,并绘制出它的相图.最后,我们用分支理论讨论了一类更为复杂的方程——ac驱动的复Ginzburg-landau方程的精确解.本文结构安排如下：第一章,介绍构造非线性偏微分方程精确解的方法的演化、孤立波的发展以及动力系统的分支分析.第二章,首先介绍齐次平衡方法和（G’/G）展开法,然后运用这两种方法分别求出（1+1）维KdV方程的精确孤立波解,以及双曲函数解、有理函数解和三角函数解.最后画出解的图像.第三章,运用动力系统的理论知识和行波变换,得到KdV方程孤立波、扭结波、反扭结波等,同时得到对应的同宿轨道、异宿轨道、周期轨道、有界开轨道等.第四章,运用分支理论研究了高阶ac驱动的复值Ginzburg-landau方程,并求出了当参数在不同范围时的精确解.
二、广义Ginzburg-Landau方程和Rangwala-Rao方程的显式精确解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、广义Ginzburg-Landau方程和Rangwala-Rao方程的显式精确解（论文提纲范文）
（1）基于Jacobi椭圆函数的CH-γ方程的求解方法（论文提纲范文）
| 1 非线性偏微分方程的积分分支法 |
| 1.1 积分分支法概述 |
| 1.2 积分分支法的改进 |
| 2 采用积分分支法求CH-γ方程的精确解 |
| 2.1 对CH-γ方程约化 |
| 2.2 求CH-γ方程的精确解 |
| 2.2.1 求CH-γ方程的参数解 |
| 2.2.2 求CH-γ方程的显式解 |
| 3 结语 |
（2）Schr（?）dinger方程与Navier-Stokes方程的奇摄动解与孤立子（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 KdV方程与KP方程的研究现状 |
| 1.3 非线性Schr(?)dinger方程与光孤子的研究现状 |
| 1.4 本文主要内容 |
| 2 模型推导 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 KdV Burgers方程的推导 |
| 2.3 非线性Schr(?)dinger方程的推导 |
| 3 一类Kdv-Burgers方程的奇摄动解与孤子解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型建立 |
| 3.3 形式展开 |
| 3.3.1 外解 |
| 3.3.2 内解 |
| 3.4 余项估计 |
| 4 奇摄动KP方程的孤子解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型建立 |
| 4.3 形式展开 |
| 4.3.1 外解 |
| 4.3.2 内解 |
| 4.4 余项估计 |
| 5 奇摄动非线性Schr(?)dinger方程的孤子解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型建立 |
| 5.3 外解 |
| 5.4 内解 |
| 5.4.1 内解1 |
| 5.4.2 内解2 |
| 5.5 余项估计 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 作者在读期间发表的学术论文与参加的科研项目 |
（3）整合时空分数阶Cahn-Allen方程的新精确解（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 预备知识 |
| 2 整合时空分数阶Cahn-Allen方程的精确解 |
| 3 结语 |
（4）立方Schr（?）dinger方程的半隐格式BDF2-FEM无条件最优误差估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号对照表 |
| 缩略语对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性Schr(?)dinger方程研究背景及意义 |
| 1.2 非线性Schr(?)dinger方程国内外研究现状 |
| 1.3 论文的研究方法和创新点 |
| 1.4 论文的主要内容安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 立方Schr(?)dinger方程 |
| 2.2 有限元空间 |
| 2.3 插值理论 |
| 2.4 有限元方法 |
| 2.5 时间半离散方程 |
| 2.6 Gronwall不等式 |
| 第三章 时间误差估计 |
| 3.1 分离时间半离散方程 |
| 3.2 初步误差估计 |
| 3.3 时间半离散方程的误差估计 |
| 3.4 本章小节 |
| 第四章 全离散有限元解 |
| 4.1 全离散有限元解的唯一性 |
| 4.2 全离散有限元解的误差估计 |
| 4.3 H~1误差估计及推论 |
| 4.4 定理1的推导和证明 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 数值算例 |
| 第六章 结论和展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（5）孤立子理论在中国的发展（1978-1989）（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 绪论 |
| 一 选题的背景与意义 |
| 二 本课题研究现状 |
| 三 史料来源 |
| 四 研究内容 |
| 五 研究方法及创新点 |
| 第1章 孤立子理论的发展概况(至1989 年) |
| 1.1 第一阶段(1834-1954) |
| 1.1.1 发现孤立波(1834) |
| 1.1.2 Boussinesq方程的提出(1872) |
| 1.1.3 KdV方程的提出(1895) |
| 1.1.4 sine-Gordon方程的B?cklund变换(1885) |
| 1.1.5 Cole-Hopf变换(1950,1951) |
| 1.2 第二阶段(1955-1970) |
| 1.2.1 FPU问题(1955) |
| 1.2.2 孤立子的发现(1965) |
| 1.2.3 怪波(1965) |
| 1.2.4 反(逆)散射方法(1967) |
| 1.2.5 Lax对特征值问题(1968) |
| 1.2.6 KP方程的提出(1970) |
| 1.3 第三阶段(1971-1989) |
| 1.3.1 Hirota双线性方法(1971) |
| 1.3.2 光孤子的发现(1973) |
| 1.3.3 延拓结构法(1975) |
| 1.3.4 偏微分方程的Painlevé分析方法(1983) |
| 1.3.5 Lax对的非线性化方法(1989) |
| 1.3.6 屠(Tu)格式(1989) |
| 第2章 孤立子理论在中国的发展概况(1978-1989) |
| 2.1 孤立子理论研究在中国的起始 |
| 2.1.1 国内孤立子理论研究的源起 |
| 2.1.2 第一篇关于孤立子理论的研究论文 |
| 2.2 中国孤立子理论研究学者 |
| 2.3 孤立子研究学者的重要着作及国内学者的编着译着统计 |
| 第3章 中国孤立子理论研究学者开展的活动 |
| 3.1 孤立子理论在国内科研院所的教研 |
| 3.2 中国第一部孤立子理论的译着与专着 |
| 3.2.1 《逆散射变换与孤立子理论》 |
| 3.2.2 《孤立子》 |
| 3.3 去国外交流学习 |
| 第4章 中国学者对非线性演化方程的求解方法和解的适定性研究 |
| 4.1 B?cklund变换法(BT) |
| 4.1.1 B?cklund变换法的发展背景 |
| 4.1.2 B?cklund变换在中国的研究与发展 |
| 4.2 Darboux变换法(DT) |
| 4.2.1 Darboux变换法的发展背景 |
| 4.2.2 Darboux变换法在中国的研究与发展 |
| 4.2.3 Darboux变换法的新应用 |
| 4.3 反散射方法(IST) |
| 4.3.1 反散射方法的发展背景 |
| 4.3.2 反散射方法在中国的研究与发展 |
| 4.4 Hirota双线性方法(也称广田方法) |
| 4.4.1 Hirota双线性方法的发展背景 |
| 4.4.2 Hirota方法在中国的发展 |
| 第5章 中国学者对可积系统的研究 |
| 5.1 可积性判别及可积系统的构造 |
| 5.1.1 方程的可积性判别 |
| 5.1.2 有限维可积系统的构造方法 —— Lax对的非线性化方法 |
| 5.1.3 无限维可积系统的构造方法——屠格式 |
| 5.2 孤子方程的推导及规范等价类: |
| 5.2.1 孤子方程的推导 |
| 5.2.2 孤子方程的规范等价类 |
| 5.3 守恒律 |
| 5.3.1 守恒律的研究背景 |
| 5.3.2 中国学者对于守恒律的研究 |
| 5.4 可积系统的对称及其代数结构 |
| 5.4.1 对称的发展背景 |
| 5.4.2 国内对对称约束及其代数结构的研究 |
| 第6章 中国学者对孤立子的数值实验研究 |
| 6.1 孤立子的数值实验研究背景 |
| 6.2 我国孤立子的数值实验研究 |
| 结束语 |
| 攻读博士期间发表的学术论文目录 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（6）两类非线性薛定谔方程的行波解分岔（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 非线性系统行波解的研究现状 |
| 1.3 非线性薛定谔方程行波解的研究现状 |
| 1.4 课题来源 |
| 1.5 主要研究内容 |
| 第2章 基础知识 |
| 2.1 动力系统的平衡点、不变流形与分岔理论 |
| 2.2 非线性行波系统 |
| 2.3 雅可比椭圆函数与双曲函数 |
| 2.4 研究方法 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 五次衍生非线性薛定谔方程的行波解分岔 |
| 3.1 五次衍生非线性薛定谔方程及其行波变换 |
| 3.2 光滑行波系统(3-13)的平衡点分岔 |
| 0时光滑行波系统(3-13)的平衡点分岔'>3.2.1 b_3>0时光滑行波系统(3-13)的平衡点分岔 |
| 3.2.3 b_3=0时光滑行波系统(3-13)的平衡点分岔 |
| 3.3 光滑行波系统(3-13)的动力学行为及相图分岔 |
| 0时光滑行波系统(3-13)的动力学行为与相图分岔'>3.3.1 b_3>0时光滑行波系统(3-13)的动力学行为与相图分岔 |
| 3.3.3 b_3=0时光滑行波系统(3-13)的动力学行为与相图分岔 |
| 3.4 光滑行波系统(3-13)的行波解及波形图 |
| 0时光滑行波系统(3-13)的行波解及波形图'>3.4.1 b_3>0时光滑行波系统(3-13)的行波解及波形图 |
| 3.4.3 b_3=0时光滑行波系统(3-13)的行波解及波形图 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 光纤超材料非线性薛定谔方程的行波解分岔 |
| 4.1 光纤超材料非线性薛定谔方程及其行波变换 |
| 4.2 奇性行波系统(4-10)的平衡点分岔 |
| 0时奇性行波系统(4-10)的平衡点分岔'>4.2.1 b_4>0时奇性行波系统(4-10)的平衡点分岔 |
| 4.3 奇性行波系统(4-10)的动力学行为及相图分岔 |
| 0(时奇性行波系统(4-10)的动力学行为与相图分岔'>4.3.1 b_4>0(时奇性行波系统(4-10)的动力学行为与相图分岔 |
| 4.4 奇性行波系统(4-10)的行波解及波形图 |
| 4.5 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（7）几类非线性偏微分方程（组）的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 (G'/G,1/G)-展开法简介 |
| 1.3 本文的研究目的和主要内容 |
| 第2章 带非均匀项的MKdV方程显式精确解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 求解带非均匀项的MKdV方程 |
| 2.3 小结 |
| 第3章 关于人口问题中-广义扩散模型的显示精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 求解关于人口问题中-广义扩散模型 |
| 3.3 小结 |
| 第4章 (2+1)维长短波方程组的显示精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 求解(2+1)维长短波方程组 |
| 4.3 小结 |
| 第5章 Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程的一个非线性变换及其应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 非线性变换的导出 |
| 5.3 求解Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn方程 |
| 5.4 小结 |
| 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间所发表的论文 |
| 致谢 |
（8）Kundu方程的非线性波分支（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性波方程及孤立子概述 |
| 1.2 求解非线性波方程的方法概述 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文的主要工作介绍 |
| 第二章 Kundu方程的精确行波解 |
| 2.1 Kundu方程的研究背景 |
| 2.2 本章的主要结论 |
| 2.3 命题2.1的推导 |
| 2.4 命题2.2的推导 |
| 2.5 命题2.3的推导 |
| 2.6 命题2.4的推导 |
| 2.7 本章小结 |
| 第三章 Kundu方程的扭波分支 |
| 3.1 本章的主要结论 |
| 3.2 命题1的推导 |
| 3.3 命题2的推导 |
| 3.4 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（9）具波动算子非线性Schr（?）dinger方程的数值解法及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性Schr(?)dinger方程的研究概述 |
| 1.2 具波动算子非线性Schr(?)dinger方程的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作和安排 |
| 第2章 具波动算子非线性Schr(?)dinger方程的精确解研究 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 平衡解及动力系统 |
| 2.4 Jacobi椭圆函数周期解 |
| 2.4.1 Jacobi椭圆函数正弦函数展开法 |
| 2.4.2 Jacobi椭圆函数余弦函数展开法 |
| 2.4.3 Jacobi椭圆函数其它类型展开法 |
| 2.5 Lam(?)函数多级包络周期解 |
| 2.5.1 第一类多级包络周期解 |
| 2.5.2 第二类多级包络周期解 |
| 2.5.3 第三类多级包络周期解 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 具波动算子非线性Schr(?)dinger方程的数值解法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 具波动算子非线性Schr(?)dinger方程差分格式构造 |
| 3.3.1 无条件稳定线性化守恒格式 |
| 3.3.2 无条件稳定的全隐守恒格式 |
| 3.3.3 四层条件稳定显式守恒格式 |
| 3.3.4 带小参数条件稳定线性化格式 |
| 3.3.5 四种差分格式的比较 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 具波动算子非线性Schr(?)dinger方程的线性稳定性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 行波解的存在性及色散关系 |
| 4.3 线性稳定性分析及相关引理 |
| 4.4 线性稳定性讨论 |
| 4.4.1 波数q=0 |
| 4.4.2 波数q?=0 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 总结和展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 在学期间科研成果情况 |
（10）两类偏微分方程的精确解及其分支（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 非线性偏微分方程精确解的方法以及孤立波的发展 |
| 1.2 动力系统的分支分析 |
| 2 一类混合KdV方程的孤立波解 |
| 2.1 齐次平衡法 |
| 2.2 (G'/G)展开法 |
| 2.3 齐次平衡法在求解(1+1)-混合维KdV方程中的运用 |
| 2.4 (G'/G)展开法在(1+1)-维KdV方程的运用 |
| 2.5 结论与展望 |
| 3 动力系统方法在(1+1)—维KdV方程中的应用 |
| 3.1 行波系统 |
| 3.2 KdV方程的分支 |
| 3.3 混合KdV方程的所有行波解 |
| 3.4 结论 |
| 4 分支理论与高阶ac驱动的复值Ginzburg-landau方程的精确解 |
| 4.1 相图轨迹的分支 |
| 0,ε>0时的精确解'>4.2 当c_2>0,ε>0时的精确解 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在校期间的科研成果 |
四、广义Ginzburg-Landau方程和Rangwala-Rao方程的显式精确解（论文参考文献）
- [1]基于Jacobi椭圆函数的CH-γ方程的求解方法[J]. 邹灵果. 河南工程学院学报(自然科学版), 2021(03)
- [2]Schr（?）dinger方程与Navier-Stokes方程的奇摄动解与孤立子[D]. 李瑞翔. 杭州电子科技大学, 2021
- [3]整合时空分数阶Cahn-Allen方程的新精确解[J]. 李钊,韩天勇,黄春. 成都大学学报(自然科学版), 2020(03)
- [4]立方Schr（?）dinger方程的半隐格式BDF2-FEM无条件最优误差估计[D]. 代猛. 西安电子科技大学, 2019(02)
- [5]孤立子理论在中国的发展（1978-1989）[D]. 包霞. 内蒙古师范大学, 2019(07)
- [6]两类非线性薛定谔方程的行波解分岔[D]. 李争康. 北京工业大学, 2019
- [7]几类非线性偏微分方程（组）的精确解[D]. 王文君. 广州大学, 2017(02)
- [8]Kundu方程的非线性波分支[D]. 付抒唅. 华南理工大学, 2017(07)
- [9]具波动算子非线性Schr（?）dinger方程的数值解法及应用[D]. 林成龙. 集美大学, 2017(01)
- [10]两类偏微分方程的精确解及其分支[D]. 廖欧. 四川师范大学, 2016(02)