一、分支方法在广义MKdV方程中的应用(英文)（论文文献综述）
陈晓彤[1]（2021）在《Riemann-Hilbert方法在非线性孤子方程中的应用》文中研究表明求非线性孤子方程的精确解一直是当今孤立子理论与可积系统研究的主要内容之一.在众多求解方法中,Riemann-Hilbert方法是有效地求解非线性孤子方程的重要方法.本文研究主要开展了两方面的工作:讨论耦合非等谱Gross-Pitaevskii（GP）方程的N-孤子解并推广到多分量的非等谱GP方程;将Riemann-Hilbert方法应用到矩阵形式的 modified Korteweg-de Vries（mKdV）方程中,并求其 N-孤子解.第一章简要描述了孤立子理论的发展历史及Riemann-Hilbert方法的研究现状.第二章首先对非等谱GP方程的Lax对以及Jost解及散射数据的解析性质进行分析,构造了耦合非等谱GP方程的Riemann-Hilbert问题.其次重构了位势,分析了位势矩阵以及散射数据的对称关系并给出了耦合非等谱GP方程的迹公式.然后,正则化了耦合非等谱GP方程的Riemann-Hilbert问题,并在无反射位势的情况下,给出了耦合非等谱GP方程的N-孤子解.同时将Riemann-Hilbert方法推广到N分量的非等谱GP方程的孤子求解.第三章是对矩阵mKdV方程的研究,首先把它约化到多分量mKdV方程和耦合mKdV方程.然后着借助于Riemann-Hilbert方法,通过对可积方程的Lax对进行谱分析,从而构建了方程的Riemann-Hilbert问题.最后在非正则和无反射的情况下,导出矩阵mKdV方程的N-孤子解公式.第四章是总结与展望.
杨佼朋[2]（2020）在《高次b方程的非线性波解与分支问题研究》文中研究指明本文运用动力系统分支理论系统地研究了高次b方程的非线性波解与分支问题,分别获得了该方程在b=0、b>1、b<-1三种情形和特定参数条件下的分支相图,行波解的定性行为及其表达式.分析这类方程的主要难点在于方程具有高次非线性对流项,使得研究时需要更多的理论分析和数值计算,如何获得高次情形下方程的非线性波解、分支参数和分支曲线,以及如何处理方程对应行波系统中的奇性也很困难.我们利用适当的行波变换和时间尺度变换将奇异行波系统转化为一个正则系统,通过动力系统分支理论和数值方法来研究了正则系统的向量场及分支相图,再根据所作变换和正则系统的性质可得奇异行波系统的相轨线分支,最后利用相轨线探讨了该方程非线性波解的分支行为及其动力学特征,并给出了这些解的表达式.本文的主要结果如下.1.当b=0时,得到了方程对应奇异行波系统与正则行波系统所确定向量场的关系,通过相图分析发现了一些新的现象,如在特定参数情形下行波系统有无穷多闭轨道穿过奇直线并相交于两点;某些同宿轨内部没有奇点等.通过理论分析,揭示了特定情形下方程存在三种分支现象,包括孤立波与周期波、孤立波与爆破波以及双孤立波的分支.2.当b>1,k=0时,通过数值方法确定了方程所对应行波系统的分支参数以及分支曲线,得到了孤立尖波解与反孤立尖波解的分支波速,以及n为偶数时孤立尖波的最大波速,建立了不同参数条件下方程对应正则行波系统的相图分支,进一步揭示了多种非线性波解之间的关系,推广和改进了前人的某些相关结果.3.利用动力系统分支方法在b=0、b>1、b<-1三种情形下得到了方程多个非线性波解的表达式.当b=0时,给出了孤立波解、周期波解和爆破波存在的参数条件及其表达式;当b>1时,得到了孤立尖波解、反孤立尖波解、光滑孤立波和光滑周期波解的显式表达式或隐式表达式;当b<-1时,给出了周期波解存在存在的参数条件及其隐式表达式.本文主要内容分为五个部分,第一章是绪论,综述了非线性波方程和孤立波的发展历史、研究现状、主要的研究方法及某些结果,并简单介绍了本文所用到的相关理论和方法.第二章至第四章分别研究了高次b方程在b=0、b>1、b<-1三种情形下的非线性波解与分支问题,并揭示了多个非线性波解之间的关系.最后一部分是对本文研究结果进行了总结,并提出了值得进一步探索的问题.
王胜男[3]（2020）在《离散mKdV方程的微扰理论》文中指出本文利用反散射变换,研究了离散mKdV方程的微扰理论.首先我们放弃离散mKdV方程的与时间相关的辅谱问题,此时,谱变量与时间相关.然后利用以反散射变换为基础的微扰方法得到基本方程,当修正项趋于无穷小时,该方程就约化为通常的离散mKdV方程.接下来讨论含修正项时各参数的时间演化,同样得到与通常mKdV方程应有结果只差一个微扰项的结论.此外,还给出了守恒律的微扰修正.
申亚丽[4]（2019）在《非线性局域波及其动力学分析》文中提出随着非线性科学的不断发展,大量新的非线性系统在各个学科不断涌现,利用计算机大容量、高速度的特点,借助精确的符号计算,建立适合于所考虑问题的构造性研究算法,在计算机上实现若干非线性问题研究成果的机械化输出和非线性现象的可视化模拟,仍然是数学机械化发展的主要方向.本文以若干非线性系统为研究对象,借助符号计算系统Maple,展开非线性局域波求解方法及其动力学性质的研究.主要工作包括如下四部分:第一部分,结合Hirota双线性方法对原Backlund变换方法进行修正,给出了构造广义双线性Backlund变换以及利用广义双线性Backlund变换构造非线性局域波的算法,利用该算法研究了三个高维的重要数学物理模型.给出了它们的双线性形式,研究广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系,构造了它们的广义双线性Backlund变换,获得了它们的若干非线性局域波解.第二部分,从Lax方程和零曲率方程出发,编制了 Lax对的自动验证软件包Laxpairtest.基于验证正确的Lax对,构造了一个新近提出的重要的非局部非线性可积系统AB-NLS的n阶Darboux变换,进而通过Darboux变换获得了该系统的1-孤子和2-孤子解.给出了解的三维演化图,分析了其动力学行为.最后,根据Jacobi椭圆函数构建了 AB-NLS系统的周期解.第三部分,将一个新的辅助二次函数的解和双线性变换有机结合,构造获得了高维非线性系统,即4+1维Fokas方程新的lump解;分析了解在不同参数条件下呈现的亮lump波和暗lump波;结合极值理论讨论了 lump波的动力学性质,获得了不同情形下lump波的振幅极值和极值点.进而,提出一种新的符号计算方法,利用该方法研究获得了两个高维非线性系统的带有控制中心的高阶怪波解,分析了解的渐近行为.该方法可直接有效地为高阶怪波的构造提供新的思路.第四部分,综合多种经典方法并结合一些新方法,首次研究获得了带源KdV方程众多非线性局域波解;利用经典Lie群对称法,并借助符号计算系统Maple首次得到了该方程的对称群,基于群不变理论,获得该方程的群不变解;最后,利用Painleve截断展开方法综合研究了该方程的Painleve性质,获得了其Laurent展开形式的解.在得到的三个分支中,通过截断展开式,获得KdV-SCS方程的Backlund变换。
熊娜[5]（2017）在《非线性系统的对称性及暗方程研究》文中提出本文基于符号计算软件Maple,利用对称性理论、相容Riccati方程展开法（CRE方法）、优化系统直接构造方法以及高阶对称延拓理论,研究了数学物理方程中若干非线性模型的相关问题,主要包含以下三方面的内容:若干非线性偏微分方程非局域对称及精确解的构造;优化系统的分类;暗方程的分类及递推算子的构造.具体章节安排如下:第一章绪论部分,介绍了本文研究内容的理论背景和发展现状,包括对称理论、优化系统、暗方程以及符号计算,并阐明了本论文的选题和主要工作.第二章,首先分别基于Darboux变换和Painleve截断展开法构造了 Kaup-Kupershmidt（KK）方程的非局域对称和留数对称,并通过引入辅助变量,成功地将非局域对称局域化,利用经典Lie群理论求解扩大系统的Lie点对称,并通过有限变换和相似约化给出了原系统孤立波与椭圆周期波等相互作用解;其次,利用相容Riccati方程展开法,求得了 AB系统的一些新的精确解.第三章,基于构造一维优化系统的直接算法,研究了 2 + 1维Wu-Zhang（WZ）方程Lie对称群的一维优化分类问题,构造了 WZ方程的优化系统,并通过相似约化得到了十五类1 + 1维完整且不等价的约化系统,不仅包括经典的Boussinesq方程和WZ方程的稳态形式,还包括一些Painleve可积的方程.第四章,基于Kupershmidt暗KdV方程的定义和分类,首先,在高阶微分形式对称存在的假设下,通过线性延拓得到了暗修正KdV（MKdV）方程的完整分类,得到了十二类不等价的暗MKdV系统.与暗KdV方程比较,每一类暗MKdV方程都含有自由参数,当自由参数固定时,其中九类暗MKdV方程正好是暗KdV方程作合适的Miura变换的结果,而另外三类不能通过调整自由参数的值,由暗KdV方程通过Miura变换求得.其次,对暗方程的定义进行了推广,通过线性非齐次延拓得到了含有更多自由参数的推广的暗MKdV方程的不等价分类.通过选取合适的自由参数,推广的暗MKdV方程恰好可以退化到所有齐次延拓的暗MKdV方程.另外,分别选取暗MKdV方程和推广的暗MKdV方程其中两类,推导了它们的递推算子.第五章,对全文工作进行了简要的总结和讨论,并对接下来将要研究的工作做了进一步展望.
郑筱筱[6]（2013）在《首次积分方法与非线性发展方程（组）的精确解》文中进行了进一步梳理通过详细的研究和分析首次积分方法的基本思想和求解步骤，本文将首次积分方法应用到求解某些非线性发展方程（组）以及变系数非线性偏微分方程中.本文分为如下七章内容：第一章为绪论部分，介绍了非线性偏微分方程的研究现状与发展趋势，归纳总结了近几十年来求解非线性偏微分方程精确解的主要方法，具体给出了首次积分方法的研究背景和应用过程，并说明了本文的主要内容和研究目的.第二章到第六章，运用首次积分方法分别对广义Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程、具有抛物律和对偶幂律的广义Schro¨dinger方程、Klein-Gordon-Zakharov方程、广义长短波方程、Zakharov方程进行分析讨论和研究，在不事先假设解的某种形式，没有过于复杂冗长的代数计算情况下，一致地获得了大量的不同类型的显式精确解，既包括已有文献获得的精确解，也有许多新型的显式精确解，如：sech函数、csch函数、十二种Jacobi椭圆函数双周期波解、Weierstrass椭圆函数双周期解，复合形式解等；这些解修正和完善了已有文献给出的结果.在第七章中，将首次积分方法用于变系数mKdV方程的精确求解.我们首先借鉴其他文献，将变系数mKdV方程变换成常系数mKdV方程，进而运用首次积分方法和扩展双曲函数方法获得变系数mKdV方程的丰富的精确解；而且我们还将获得的解与已有文献的解进行对比分析.最后，对本文的工作进行了总结，并对今后的工作进行了规划和展望.
田守富[7]（2012）在《非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统》文中指出基于计算机数学机械化思想和‘’AC=BD"统·理论模式，借助于现有的理论及相应的符号计算软件，本论文主要研究了孤子方程的AC=BD模式与卦理论，非线性微分方程的（Binary）Darboux与Backlund变换、微分变换及Hamiltonian可积簇，非线性微分方程的非局部分析，非线性微分方程、超对称和超离散方程的有限高亏格解与可积系统问题等.第一章介绍计算机数学及计算机代数，孤子理论，非线性方程、超对称与超离散方程的机械化求解方法与可积系统问题等在国内外的历史发展概况，并介绍本论文的选题和主要工作.第二章基于AC=BD模式及其C-D可积系统与C-D对,我们做了两方面的工作.在代数几何解中：推出了Dubrovin型方程,Its-Matveev公式及Super-Its-Matveev公式；在Sato理论中：分别给了Lax方程与Sato方程、Lax方程与反散射框架、Lax方程与Zarharov-Shabat方程、Sato方程与Hirota双线性方程等之间的关系,并揭示了这些方程解的统一模式可由Tau函数表示.另一方面,为了揭示可积系统的一般性结构,我们首次系统地提出了“卦理论”,包括“卦结构”和“卦恒等式”,并分别给出了一些内分解-和外分解-卦恒等式：Wronskian、Grammian、Pfaffian、Young图的Schur函数和特征多项式、Clifford-和Heisenberg-代数的Fock表示空间等,并首次阐明Clifford-（Heisenberg-）代数的Fock表示空间均为卦（同构卦）空间.最后给出了构造Tau函数与Theta函数之间关系的新方法,间接地建立了卦结构与代数几何解之间的联系.第三章基于Lax谱理论、Painleve奇异流形理论,分别给出了一类微分方程的三类N-重Darboux变换,Auto-Backlund不（?）Binary Darboux变换,及其相应的周期波解和Grammian解.利用离散Lax谱问题,通过选取合适的谱Vn（m）,给出了一类新的Hamiltonian Lattice簇的一些经典Lattice约化、multi-Hamiltonian（?）结构在对合意义下的可积性质、离散Darboux变换及其解析解.基于¨Sato理论框架并借助于限定的mKP方程,提出了一类自溶源rnKP （mKPESCSs）方程及其Lax谱问题；利用共轭Lax对,进而研究其向前、向后和N重Binary Darboux变换,其中Binary Darboux变换提供了两个不同次数的mKPESCSs之间的一个非自治Backlund变换；借助于这些变换可以得到mKPESCSs的一些新典型解如孤立子解、有理解、呼吸子解和指数解等.通过研究微分变换与Pade逼近理论,获得了着名的浅水波Camassa-Holm方程波峰连续与非连续解析近似解；与解析解比较,研究了其计算的有效性和高精度.第四章借助于守恒律乘子，获得了一类微分方程的非局部分析其中包括非局部相关PDE系统、树形结构、非局部对称与守恒律等.借助于非局部对称，进而研究了原PDE系统的非局部线性化，并提出了广义不变解的一套新方法.对某一类PDE系统，给出了其非局部对称与Nonclassical方法在求解方而的关系与George W. Bluman（?）教授等的合作中给出了着名的非线性Kompaneets（NLK）（?）方程的非局部分析；与近期（?）Ibragimov教授的工作相比，利用非局部分析中已得到的结论获得了NLK方程的更广义类型的解；这些新解不能由NLK方程局部对称的不变解所得到，并打破了NLK方程自1956年以来只有唯一一类局部平凡解析解的状况.特别地，得到了以前未知的五类涉及两参数的精确时间独立解析.有趣的是，这些解都可以用初等函数所表示，并且其中两类在有限时间内表现出爆破行为，另外三类则表现出静止行为.最后证明了所有的非平凡稳态解都具有不稳定性，并且他们相对于Dubinov教授所给出的隐式解是新的.第五章基于超空间,利用Hirota双线性和Riemann theta（?）函数的性质，分别研究了一类非线性微分方程和超对称方程的有限高亏格（?）的Riemann theta函数周期波解及其极限特性分析，并将其分别应用到了CDGSK方程、（2+1）-维DBS方程和超对称KdV-Burgers方程等.借助于theta函数的有理恒等式提出了求解一类离散方程的N-theta周期波解的方法：并将这类结论推广到了离散方程和（?）heta（?）函数的超离散化空间上，进而分别获得了相同亏格（?）的Ud-Riemann theta（?）函数周期波解.做为这种方法的应用，分别研究了离散修改的Korteweg-de Vires（mKdV）方程和广义的Toda lattice方程等第六章借助于多维的Bell与super Bell多项式,分别研究了一类非线性微分方程和超对称方程的可积性分析，同时给出了可积判定条件，使此类方程（组）成为一类可积系统，并将其分别应用到了一类广义变系数的KP方程、5-阶KdV方程（?）IsKdV-Burgers方程等，获得了一些新的可积性结论.借助于超离散的‘’max-plus"代数理论及其Lax（?）（?）性系统的相容条件，提出了一般超离散方程的Lax可积定理和可解性定理：通过研究有限高亏格（?）的Riemann theta （?）函数的超离散化，进而获得了一类超离散化方程相同亏格（?）的Ud-Riemann theta函数解.最后将这一般的超离散化及其可积性理论分别应用到了离散的Lattice Krichever-Novikov方程、离散的mKdV方程和离散的Painleve方程等.
薛玉山[8]（2013）在《非线性系统的可积性分析及孤子的相互作用研究》文中指出孤子是非线性科学的一个重要分支,在数学、物理等领域有广泛应用,并且在金融领域可作为研究市场演化特征的理论基础。因此,孤子理论的研究具有重要意义。本文主要解析研究非线性系统的可积性及孤子的相互作用机制。通过对变系数、耦合非线性发展方程及方程族的研究,获得一系列研究结果,如非线性系统的可积性、解析孤子解、Hamilton结构及Liouville可积性等。本文共分为六个方面：（1） Darboux变换的构造及其在耦合非线性发展方程中的应用。（a）分别以Hirota-Maxwell-Bloch （H-MB）方程及广义非均匀H-MB方程、非均匀耦合非线性Schrodinger（NLS）方程为例,构造等谱和非等谱可积系统的Darboux变换；（b）利用Darboux变换构造H-MB方程的单孤子和双孤子解,由此研究孤子的产生机制、传播特性及相互作用；绘图分析广义非均匀H-MB方程的非均匀因素对孤子的发展特性及相互作用的影响；通过控制群速度色散、自相位调制、交叉相位调制及增益／损耗对应的参数,讨论非均匀耦合NLS方程孤子的相互作用机制及在非均匀光纤系统中的潜在应用；（c）利用Painleve检测确定广义非均匀H-MB方程的可积条件；基于Ablowitz-Kaup-Newell-Segur （AKNS）系统,构造H-MB方程及广义非均匀H-MB方程的Lax对；将2×2等谱AKNS谱问题推广到3×3非等谱情形,求得非均匀耦合NLS方程的Lax对。（2）广义非均匀H-MB方程的N次Darboux变换构造及孤子解的渐近分析。（a）构造广义非均匀H-MB方程的N次Darboux变换,得到方程的单孤子、双孤子及三孤子解,并整理为行列式形式；（b）讨论取不同参数值时孤子的传播特性及相互作用,并发现双孤子碰撞存在能量交换的现象；（c）利用渐近分析研究孤子碰撞前后的物理量,如能量、振幅、脉冲宽度、传播速度和初始相位；（d）给出该方程的前三个守恒律。（3）非线性发展方程族与无穷守恒律。（a）以KdV和AKNS方程族为例,介绍Lax对为算子和矩阵形式所对应的非线性发展方程族的构造过程；（b）以KdV和AKNS系统为例,研究Lax对为算子和矩阵形式所对应的无穷守恒律的构造过程,并推出H-MB方程的无穷守恒律；（c）以推广的离散谱问题为基础,推导离散系统的方程族及无穷守恒律。（4） Jaulent-Miodek（JM）谱问题的Hamilton结构、Darboux变换及新的类孤子解。（a）基于JM谱问题,推出JM方程族,并构造该JM方程族两种形式的Darboux变换；（b）利用辛—逆辛分解法,得到JM方程族的Hamilton结构,并证明该方程族在Liouville意义下是完全可积的；（c）通过两种形式的Darboux变换,可以分别构造JM方程族新的类孤子解,这些类孤子都由冲击波和钟形孤子构成；（d）研究两种类孤子的传播特性及相互作用。（5）等谱和一阶非等谱Kaup-Newell（KN）方程族之间的规范变换。（a）简要介绍规范变换的基本概念,引入等谱和一阶非等谱AKNS系统,得到等谱和一阶非等谱KN谱问题之间的规范变换；（b）求得等谱和一阶非等谱KN方程族之间的转化关系,并给出两个方程族的前三个方程；（c）以等谱和一阶非等谱KN系统为例,研究同一系统对应的等谱和非等谱谱问题之间的直接规范变换。（6）双线性方法及多线性分离变量法在（2+1）维色散长水波方程中的应用。（a）介绍双线性化常用的三种因变量变换及其它形式的因变量变换,以及相应的非线性发展方程的类型；（b）利用多线性分离变量法研究非线性局域激发模式,并列举几种常见局域解的函数形式；（c）对（2+1）维色散长水波方程进行Painleve分析,可得Painleve展开存在单奇异流形和双奇异流形展开两种形式,进而得到两种不同形式的因变量变换；（d）利用两种因变量变换,分别将方程双线性化和线性化,进而求得方程的解析孤子解及非线性局域激发模式,并通过绘图探讨孤子的传播特性和相互作用。
刘绍庆[9]（2012）在《非线性发展方程精确解的研究》文中指出如今非线性已经涉及几乎所有学科领域，孤立子理论作为非线性科学研究的热门课题之一，对揭示波的传播规律、准确解释自然现象和科学应用相关技术等方面均具有极大的科学研究和应用价值。寻求非线性系统的解，特别是孤立波解（包括精确解和数值解）是孤立子理论研究的一个主要内容。最近几十年，关于非线性发展方程的孤立子研究，特别是孤立波的研究发展迅速，国内外的研究者创造了许多求解非线性发展方程的孤立波的方法。近年来，随着数学机械化的发展，关于孤立波的研究越来越多的依赖于计算机的应用，随之而来的是产生了一系列求解非线性波动方程的新方法，并且这些方法逐渐的被应用到离散的非线性微分-差分系统和随机微分系统中来研究离散系统和随机系统的孤立波问题。这些方法已成为近年来求解非线性发展方程精确解的主要工具。本文共分五章：第一章我们先介绍了数学机械化、孤立子理论的背景和发展历史，然后总结并分析了现有的求解非线性发展方程的方法，最后介绍了本课题的研究意义和研究内容。第二章先介绍了F-展开法和改进的F-展开法，并用此两种方法研究了一类Davey-Stewartson方程的精确解，得到了此方程由Jacobi椭圆函数表示的周期波解，且在极限的情况下，得到了这些方程的孤波解及其他形式的解。第三章首先介绍了求解非线性微分-差分方程精确解的Tanh函数法，并用此方法研究了（2+1）-维Toda格子、晶格方程、离散的饱和非线性Scho¨dinger方程和Ablowitz-Ladik晶格模型和变系数离散mKdV方程、变系数Hybrid格子方程，分别得到了三种不同类型的精确解：双曲函数型、三角函数型和有理函数型；接着介绍了最近很热的（G′G’/G）-展开法，并将两种方法进行比较。第四章首先介绍了随机微分方程的相关理论，给出了求解随机微分方程精确解的Tanh函数法，并用此方法研究了随机Kadomtsev-Petviashvili方程和广义随机KdV-Burgers方程，得到了三种不同类型的随机精确解。最后利用第二章介绍的F-展开法研究了随机广义KdV方程组的精确解。第五章是对研究内容的总结和展望。
套格图桑[10]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中研究表明1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
二、分支方法在广义MKdV方程中的应用(英文)（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、分支方法在广义MKdV方程中的应用(英文)（论文提纲范文）
（1）Riemann-Hilbert方法在非线性孤子方程中的应用（论文提纲范文）
| 答辩委员会决议书 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子的历史及研究意义 |
| 1.2 Riemann-Hilbert方法介绍及研究现状 |
| 1.3 论文的主要工作 |
| 第二章 耦合的非等谱GP方程 |
| 2.1 GP方程及其Lax对 |
| 2.2 Riemann-Hilbert问题 |
| 2.3 散射数据的演化 |
| 2.4 N-孤子解及其性质 |
| 2.5 多分量的耦合非等谱GP方程 |
| 第三章 矩阵形式的mKdV方程 |
| 3.1 矩阵mKdV方程及其约化 |
| 3.2 谱分析和Riemann-Hilbert问题 |
| 3.3 反散射变换及时间演化 |
| 3.4 N-孤子解的构造 |
| 第四章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（2）高次b方程的非线性波解与分支问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子的发现及其研究现状 |
| 1.2 非线性波方程求解方法概述 |
| 1.3 辅助知识 |
| 1.3.1 平面系统定性理论 |
| 1.3.2 动力系统分支方法 |
| 1.3.3 双曲函数与椭圆函数 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 当b=0时,高次b方程孤立波解与周期波解 |
| 2.1 主要结论 |
| 2.1.1 n=2v时孤立波解与周期波解 |
| 2.1.2 n＝2v+1时孤立波解与周期波解 |
| 2.2 命题2.1-2.4的证明 |
| 2.2.1 预备工作 |
| 2.2.2 孤立波和周期波的存在性及其表达式 |
| 2.2.3 性质A、B、C的证明 |
| 2.3 命题2.5-2.7的证明 |
| 2.3.1 预备工作 |
| 2.3.2 孤立波和周期波的存在性及其隐式解 |
| 2.4 本章小结 |
| 1时,高次b方程行波解及其分支研究'>第三章 当b>1时,高次b方程行波解及其分支研究 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 主要结论的证明 |
| 3.2.1 行波系统与首次积分 |
| 3.2.2 奇点与分支曲线 |
| 3.2.3 分支相图 |
| 3.2.4 行波解的表达式 |
| 3.3 本章小结 |
| 4.1 主要结论 |
| 4.2 主要结论的证明 |
| 4.2.1 预备工作 |
| 4.2.2 周期波解及其表达式 |
| 4.3 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（3）离散mKdV方程的微扰理论（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 第二章 正散射问题 |
| 第三章 含修正项的mKdV方程 |
| 第四章 以反散射变换为基础的微扰方法 |
| 第五章 z_ζ的时间演化 |
| 第六章 b_ζ(t)的时间演化 |
| 第七章 守恒律的微扰修正 |
| 总结与期望 |
| 参考文献 |
| 疫情感言 |
| 致谢 |
（4）非线性局域波及其动力学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波及其动力学研究 |
| 1.2 非线性局域波的求解方法及其研究 |
| 1.3 符号计算在非线性可积系统中的应用 |
| 1.4 本文的选题和主要工作 |
| 第2章 广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.1 广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系及其构造算法研究 |
| 2.2 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.2.1 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.2.2 3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.3 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.3.1 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.3.2 广义3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.4 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.4.1 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.4.2 4+1维Fokas方程的非线性局域波 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 Darboux变换及非线性局域波 |
| 3.1 Lax对与可积系统关系的符号计算算法研究及其实现 |
| 3.1.1 Laxpairtest程序包 |
| 3.1.2 Laxpairtest程序包应用实例 |
| 3.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.2.1 AB-NLS方程 |
| 3.2.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.3 AB-NLS方程的非线性波 |
| 3.3.1 AB-NLS方程的1-孤子解 |
| 3.3.2 AB-NLS方程的2-孤子解 |
| 3.4 AB-NLS方程的周期解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 高维非线性系统的lump解及其动力学分析 |
| 4.1 4+1维Fokas方程的lump解 |
| 4.2 4+1维Fokas方程lump解的动力学分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 高维非线性系统的高阶怪波及其演化 |
| 5.1 一个新的符号计算方法 |
| 5.2 3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.3 广义3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 KdV-SCS方程的若干非线性局域波解 |
| 6.1 KdV-SCS方程的双曲函数解 |
| 6.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 6.3 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法 |
| 6.3.1 (G'/G)-扩展法 |
| 6.3.2 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法的应用 |
| 6.4 KdV-SCS方程的群不变解 |
| 6.5 KdV-SCS方程的Painleve性质 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（5）非线性系统的对称性及暗方程研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 对称性理论 |
| 1.2 优化系统 |
| 1.3 暗方程 |
| 1.4 符号计算 |
| 1.5 选题和主要工作 |
| 第二章 非局域对称及精确解研究 |
| 2.1 Kaup-Kupershmidt方程非局域对称构造及求解 |
| 2.2 AB系统的精确求解研究 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 优化系统的构造及相似约化 |
| 3.1 一维优化系统直接方法的介绍 |
| 3.2 WZ方程的一维优化系统及相似约化 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 暗方程相关研究 |
| 4.1 暗方程简介 |
| 4.2 暗MKdV方程的研究 |
| 4.3 推广的暗MKdV方程研究 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 本文总结 |
| 5.2 未来工作展望 |
| 附录A WZ方程的伴随表示 |
| 附录B 推广暗MKdV方程的计算过程 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历,攻读博士期间完成论文及参与科研课题情况 |
（6）首次积分方法与非线性发展方程（组）的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 求非线性偏微分方程精确解的方法综述 |
| 1.3 首次积分方法 |
| 1.4 本文的研究目的和主要内容 |
| 第2章 首次积分法与广义Zakharov-Kuznetsov方程的新精确解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 广义Zakharov-Kuznetsov方程的新精确解 |
| 第3章 首次积分法与具有抛物律和对偶幂律的广义非线性Schro¨dinger方程的精确解 |
| 3.1 具有抛物律的广义Schro¨dinger方程的精确解 |
| 3.2 具有对偶幂律的广义Schro¨dinger方程的精确解 |
| 第4章 首次积分法与Klein-Gordon-Zakharov方程的精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Klein-Gordon-Zakharov方程的精确解 |
| 第5章 首次积分法与广义长短波方程的新精确解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 对广义长短波方程做某些变换 |
| 5.3 广义长短波方程的新精确解 |
| 5.3.1 δ = 0时广义长短波方程的新精确解 |
| 5.3.2 δ 0时广义长短波方程的新精确解 |
| 第6章 首次积分法与Zakharov方程的新显示精确解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 Zakharov方程的某些变换 |
| 6.3 Zakharov方程的新显示精确解 |
| 第7章 一类变系数mKdV方程的新精确解 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 VC-mKdV方程的一些变换 |
| 7.3 VC-mKdV方程的新精确解 |
| 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（7）非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机数学 |
| 1.2 孤立子的研究概要 |
| 1.3 可积系统与代数几何的研究概要 |
| 1.3.1 有穷维Hamilton系统 |
| 1.3.2 无穷维Hamilton系统 |
| 1.3.3 无穷与有穷维Hamilton系统之间的联系 |
| 1.3.4 代数几何解 |
| 1.4 非线性微分方程求解的发展概 |
| 1.4.1 反散射方法 |
| 1.4.2 Backlund和Darboux变换 |
| 1.4.3 Sato理论和Hirota双线性方法 |
| 1.4.4 李对称理论 |
| 1.4.5 其他方法的研究 |
| 1.5 超对称方程和超离散方程的发展概要 |
| 1.6 选题及主要工作 |
| 2 孤子理论中的AC=BD模式与“卦”理论 |
| 2.1 AC=BD模式的介绍 |
| 2.2 孤立子理论中的AC=BD模式 |
| 2.2.1 AC=BD模式在代数几何解中的应用 |
| 2.2.2 AC=BD模式在Sato理论中的应用 |
| 2.3 孤子方程的“卦”理论：“卦”结构和“卦”恒等式 |
| 2.3.1 孤子方程的“卦”结构和“卦”恒等式 |
| 2.3.2 外分解“卦恒等式” |
| 2.3.3 内分解“卦恒等式” |
| 2.4 Tau函数和Theta函数之间的关系 |
| 3 若干非线性偏微分方程的(Binary)Darboux变换、微分变换和Hamiltonian可积簇 |
| 3.1 一类非线性微分方程的三类N-重Darboux变换 |
| 3.1.1 广义导数阶非线性Schrodinger方程的三类N重Darboux变换 |
| 3.1.2 广义导数阶非线性Schrodinger方程的周期波解 |
| 3.2 一类非线性微分方程的奇异流行法：Auto-Backlund和Binary Darboux变换 |
| 3.2.1 非等谱(2+1)-维KP方程的Painleve截断展开的奇异流行法 |
| 3.2.2 非等谱(2+1)-维KP方程的Binary Darboux变换及其Grammian形式解 |
| 3.3 一类新的Hamiltonian Lattice簇：Lax可积性、约化及其Darboux变换 |
| 3.3.1 Multi-Hamiltonian Lattice簇的Laxe可积性及其约化 |
| 3.3.2 Multi-Hamiltonian Lattice簇的Darboux变换 |
| 3.4 一类自溶源mKP方程的Binary Darboux变换及其几种类型的解 |
| 3.4.1 mKP方程及其向前、向后和Binary Darboux变换 |
| 3.4.2 Sato理论框架下的一类自溶源mKP方程的广义Binary Darboux变换 |
| 3.4.3 Sato理论框架下的一类自溶源mKP方程的几种类型的解 |
| 3.5 一类非线性微分方程的微分变换-Pade逼近方法 |
| 3.5.1 微分变换-Pade逼近方法 |
| 3.5.2 微分变换-Pade逼近的应用：浅水波Camassa-Holm方程 |
| 4 非线性微分方程的非局部分析：非局部PDE系统、树形结构 |
| 4.1 非线性微分方程的守恒律：Euler算子与守恒律乘子 |
| 4.1.1 Euler算子与守恒律乘子 |
| 4.1.2 非线性微分方程的守恒律 |
| 4.2 非线性微分方程的非局部分析：非局部相关PDE系统及其树形结构 |
| 4.2.1 非线性微分方程的势系统与子系统 |
| 4.2.2 非线性扩散方程的非局部PDE系统及其树形结构 |
| 4.2.3 非线性Kompancets方程的非局部PDE系统及其树形结构 |
| 4.3 非局部PDE系统的应用：非局部对称、非局部守恒律与非局部线性化 |
| 4.3.1 非线性扩散方程的非局部对称、非局部守恒律与非局部线性化 |
| 4.3.1.1 非线性扩散方程的非局部对称与非局部守恒律 |
| 4.3.1.2 非线性扩散方程的非局部线性化 |
| 4.3.2 非线性Kompaneets方程的非局部对称 |
| 4.4 非局部对称的广义不变解：一个新算法 |
| 4.4.1 非局部广义不变解的一个新算法 |
| 4.4.2 非线性扩散方程：一个等离子体物理的算子 |
| 4.5 非局部对称与Nonclassical方法之间的关系：非线性Kompaneets方程 |
| 4.5.1 Kompanerts方程的非局部广义不变解及其爆破、稳态解 |
| 4.5.2 非局部对称与Nonclassical方法之间的关系：Kompanccts方程 |
| 5 非线性微分方程、超对称和超离散方程的有限拟周期亏格解 |
| 5.1 超空间、Super-Hirota双线性算子和Super Riemann-theta函数 |
| 5.2 非线性微分方程的Riemann theta函数周期波解及其极限特性分析 |
| 5.2.1 非线性微分方程的广义Hirota-Riemann方法：Its-Matveev公式 |
| 5.2.2 Caudrey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera方程 |
| 5.2.3 (2+1)-维的爆破孤子方程 |
| 5.3 超对称方程的Super Riemann theta函数周期波解及其极限特性分析 |
| 5.3.1 超对称方程的Super Hirota-Riemann方法：Super-Its-Matveev公式 |
| 5.3.1.1 超对称方程的Super Hirota双线性形式 |
| 5.3.1.2 超对称方程的Super Riemann theta函数周期波：Super-Its-Matveev公式 |
| 5.3.2 超对称Korteweg-de Vries-Burgers方程 |
| 5.3.2.1 超对称Korteweg-de Vries-Burgers方程的super Riemann theta函数解 |
| 5.3.2.2 超对称Korteweg-de Vries-Burgers方程周期波解极限渐近特性 |
| 5.4 若干离散方程与超离散方程的(Ud-)Riemann theta函数周期解 |
| 5.4.1 广义的离散mKdV方程的Riemann theta函数周期解及其超离散化形式 |
| 5.4.1.1 广义的离散mKdV方程的Riemann theta函数周期解 |
| 5.4.1.2 广义的离散mKdV方程的超离散化及其Ud-Riemann theta函数周期解 |
| 5.4.2 广义的(2+1)-维Toda lattice方程的超离散化及其Ud-Riemann theta函数周期解 |
| 6 非线性微分方程、超对称和超离散方程的可积性质 |
| 6.1 多维的Bell与Super Bell多项式 |
| 6.1.1 多维的二元Bell多项式 |
| 6.1.2 多维的Super Bell多项式 |
| 6.1.3 多维的二元super Bell多项式 |
| 6.2 非线性微分方程的可积性质 |
| 6.2.1 广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程的可积性质 |
| 6.2.2 5-阶Karteweg-de Vries方程的可积性质 |
| 6.3 超对称方程的可积性质 |
| 6.4 广义超离散方程的Lax可积性 |
| 6.4.1 超离散Lattice Krichever-Novikov方程的Lax可积性 |
| 6.4.2 广义超离散方程的Lax可积性 |
| 6.5 带有有限亏格(?)的Riemann theta函数的超离散化及其应用 |
| 6.5.1 带有有限亏格(?)的Riemann theta函数的超离散化 |
| 6.5.2 广义耦合的超离IRmKdV(Ud-mKdV)方程 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 非线性扩散方程的局部与非局部对称表 |
| 攻读博士学位期间学术论文完成情况 |
| 创新点摘要 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（8）非线性系统的可积性分析及孤子的相互作用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤子理论的研究概论 |
| 1.2 非线性发展方程的可积性 |
| 1.2.1 Painleve可积、检测方法及应用 |
| 1.2.2 逆散射可积与Lax可积理论 |
| 1.2.3 Liouville可积理论 |
| 1.3 可积系统的守恒律 |
| 1.4 孤子理论的解析研究方法 |
| 1.4.1 双线性方法 |
| 1.4.2 Darboux变换方法 |
| 1.5 本文的主要工作和结构安排 |
| 参考文献 |
| 第二章 Darboux变换的构造及其在耦合非线性发展方程中的应用 |
| 2.1 等谱可积系统Darboux变换的构造 |
| 2.1.1 H-MB方程 |
| 2.1.2 H-MB方程的Lax对 |
| 2.1.3 H-MB方程的Darboux变换构造 |
| 2.1.4 H-MB方程的孤子解 |
| 2.1.5 广义非均匀H-MB方程的可积性及孤子解 |
| 2.1.6 广义非均匀H-MB方程的Painleve检测 |
| 2.1.7 广义非均匀H-MB方程的的Darboux变换 |
| 2.1.8 广义非均匀H-MB方程的孤子解 |
| 2.2 非等谱可积系统Darboux变换的构造 |
| 2.2.1 非均匀耦合NLS方程 |
| 2.2.2 非均匀耦合NLS方程的Lax对推导 |
| 2.2.3 非均匀耦合NLS方程的Darboux变换构造 |
| 2.2.4 非均匀耦合NLS方程的孤子解 |
| 2.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第三章 广义非均匀H-MB方程的N次Darboux变换构造及孤子解的渐近分析 |
| 3.1 广义非均匀H-MB方程的N次Darboux变换构造 |
| 3.1.1 广义非均匀H-MB方程 |
| 3.1.2 广义非均匀H-MB方程的N次Darboux变换构造 |
| 3.1.3 广义非均匀H-MB方程的孤子解 |
| 3.2 基于Darboux变换所得孤子解的渐近分析 |
| 3.2.1 单孤子解分析 |
| 3.2.2 双孤子解分析 |
| 3.2.3 三孤子解分析 |
| 3.2.4 广义非均匀H-MB方程的无穷守恒律 |
| 3.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第四章 非线性发展方程族与无穷守恒律 |
| 4.1 连续非线性发展方程族 |
| 4.1.1 KdV方程族 |
| 4.1.2 AKNS方程族 |
| 4.2 离散非线性发展方程族 |
| 4.2.1 可积的微分差分方程族及其约化 |
| 4.3 无穷守恒律 |
| 4.3.1 连续非线性发展方程族的无穷守恒律 |
| 4.3.2 离散非线性发展方程族的无穷守恒律 |
| 4.4 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第五章 JM谱问题的Hamilton结构、Darboux变换及新的类孤子解 |
| 5.1 研究背景 |
| 5.2 JM方程族及其Hamilton结构 |
| 5.2.1 JM方程族 |
| 5.2.2 JM方程族的Hamilton结构 |
| 5.3 JM方程族的Darboux变换 |
| 5.4 Darboux变换的应用 |
| 5.4.1 第一类Darboux变换的孤子解 |
| 5.4.2 第二类Darboux变换的孤子解 |
| 5.5 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第六章 等谱和一阶非等谱KN方程族之间的规范变换 |
| 6.1 规范变换的基本概念 |
| 6.2 KN系统 |
| 6.3 等谱和非等谱KN方程族形式 |
| 6.4 KN方程族和AKNS方程族的等价性 |
| 6.4.1 KN和AKNS谱问题的规范变换 |
| 6.4.2 KN和AKNS方程族之间的等价关系 |
| 6.5 等谱和非等谱KN方程族的等价性 |
| 6.6 等谱和非等谱KN方程族的直接规范变换 |
| 6.7 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第七章 双线性方法及多线性分离变量法在(2+1)维色散长水波方程中的应用 |
| 7.1 双线性化因变量变换 |
| 7.1.1 有理变换 |
| 7.1.2 对数变换 |
| 7.1.3 双对数变换 |
| 7.1.4 其它形式因变量变换 |
| 7.2 基于多线性分离变量法的非线性局域激发 |
| 7.2.1 共振dromion解和solitoff解 |
| 7.2.2 多dromion解和dromion格点共振 |
| 7.2.3 多lump解 |
| 7.3 (2+1)维色散长水波方程的孤子研究 |
| 7.3.1 (2+1)维色散长水波方程 |
| 7.3.2 (2+1)维色散长水波方程的解析孤子解 |
| 7.3.3 (2+1)维色散长水波方程的局域孤子解 |
| 7.4 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 总结 |
| 8.2 展望 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
| 攻读学位期间参与的项目及奖励 |
（9）非线性发展方程精确解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 数学机械化与计算机代数 |
| 1.2 孤立子的背景和发展历史 |
| 1.3 构造非线性发展方程精确解的若干方法 |
| 1.3.1 Ba?klund变换和Darboux变换 |
| 1.3.2 反散射方法 |
| 1.3.3 双线性方法 |
| 1.3.4 基于符号计算系统的代数方法 |
| 1.4 本文的研究意义与主要内容 |
| 2 非线性发展方程的精确解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 F-展开法和改进的F-展开法 |
| 2.3 一类非线性发展方程的精确解 |
| 2.3.1 可积的Davey-Stewartson型方程 |
| 2.3.2 Davey-Stewartson方程I |
| 2.4 结论 |
| 3 非线性微分-差分方程的精确解 |
| 3.1 非线性微分-差分方程概述 |
| 3.2 Tanh函数法 |
| 3.3 几类非线性微分-差分方程的精确解 |
| 3.3.1 经典Toda晶格方程 |
| 3.3.2 广义离散mKdV方程 |
| 3.3.3 离散的饱和非线性Scho?dinger方程 |
| 3.3.4 Ablowitz-Ladik晶格模型 |
| 3.4 变系数离散微分-差分方程的精确解 |
| 3.4.1 变系数离散mKdV方程 |
| 3.4.2 变系数Hybrid格子 |
| 3.5 (G?′G)-展开法 |
| 3.6 Tanh函数法与(G?′G)-展开法关系 |
| 3.7 结论 |
| 4 随机微分方程的精确解 |
| 4.1 Wick型随机微分方程概述 |
| 4.2 随机微分方程理论框架 |
| 4.2.1 白噪声(White Noise) |
| 4.2.2 Wiener-Ito 混沌展开 |
| 4.2.3 Wick积 |
| 4.2.4 Hermite变换 |
| 4.3 Tanh函数法 |
| 4.4 几类随机微分方程的精确解 |
| 4.4.1 随机Kadomtsev-Petviashvili方程 |
| 4.4.2 广义随机KdV-Burgers方程 |
| 4.5 随机广义KdV方程组的精确解 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 结论和展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间的研究成果及发表的论文 |
（10）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
四、分支方法在广义MKdV方程中的应用(英文)（论文参考文献）
- [1]Riemann-Hilbert方法在非线性孤子方程中的应用[D]. 陈晓彤. 浙江师范大学, 2021(02)
- [2]高次b方程的非线性波解与分支问题研究[D]. 杨佼朋. 华南理工大学, 2020(05)
- [3]离散mKdV方程的微扰理论[D]. 王胜男. 郑州大学, 2020(02)
- [4]非线性局域波及其动力学分析[D]. 申亚丽. 陕西师范大学, 2019(01)
- [5]非线性系统的对称性及暗方程研究[D]. 熊娜. 华东师范大学, 2017(09)
- [6]首次积分方法与非线性发展方程（组）的精确解[D]. 郑筱筱. 广州大学, 2013(04)
- [7]非线性微分方程的若干解析解方法与可积系统[D]. 田守富. 大连理工大学, 2012(10)
- [8]非线性系统的可积性分析及孤子的相互作用研究[D]. 薛玉山. 北京邮电大学, 2013(12)
- [9]非线性发展方程精确解的研究[D]. 刘绍庆. 中国海洋大学, 2012(01)
- [10]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)