具有非负Ricci曲率的大体积增长黎曼流形研究进展

一、具非负Ricci曲率的大体积增长之黎曼流形研究的进展（论文文献综述）

蒋辉宏^[1]（2019）在《具某些曲率界完备流形的几何与拓扑》文中认为本文主要研究具非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形的几何和拓扑。这包括在给定某些内直径增长条件和渐近非负曲率条件时的有限性结果以及一些对应的具无限拓扑型的例子。Abresch和Gromoll证明了如果一个具非负Ricci曲率的n维完备非紧黎曼流形具有内直径增长o（r1/n）,并且它的截面曲率有下界,则它是有限拓扑型的。作者将他们的结果进一步做出推广,证明了具非负Ricci曲率、2α次渐近非负曲率（0≤α≤1）以及内直径增长o（r（n-1）α+1/n）的n维完备非紧流形必定是有限拓扑型的。另一方面,作者使用不同的技巧构造了两类具无限拓扑型的例子,它们均具有正的Ricci曲率和二次渐近非负曲率。其一是通过修改Menguy[1]的构造的某些思想得到了 6维及以上的例子;其二则是采用J.P.Sha和D.G.Yang构造某类具无限拓扑型的例子时的拓扑构造,而对流形度量的构造则采用了完全不同的工具和方法,从而得到了 5维及以上的例子。两族例子度量的构造均应用了 Perelman在构造某类具正Ricci曲率的紧流形时提出的粘接准则。这两类例子对于J.P.Sha和Z.M.Shen提出的一个问题首次给出了 5维及以上的回答,即当n≥5时,存在具非负Ricci曲率和二次渐近非负曲率的n维完备黎曼流形,其具有无限拓扑型。特别地,第二个例子的构造还告诉我们:任取I≥5以及2≤j≤I-2,存在完备非紧的I维黎曼流形,它具正Ricci曲率、二次渐近非负曲率和无穷Betti数bj。

陈爱云^[2]（2019）在《在不同曲率以及体积增长条件下黎曼流形的拓扑研究》文中研究说明在黎曼几何中,曲率与拓扑之间的关系是热点研究课题之一.本文主要研究在特定曲率以及一定体积增长条件下黎曼流形的拓扑问题.具体研究内容如下:第一,研究具有渐近非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形M.假设流形M满足一定大体积增长以及k p（r）≥-C/（1+r）α（α∈[0,2],C>0）,一方面,利用推广的Excess函数和Busemann函数,证明流形M在第k个渐近非负Ricci曲率条件下具有有限拓扑型;另一方面,结合截曲率的Toponogov型比较定理以及临界点理论,得到流形M具有有限拓扑型.该结果将截曲率的条件弱化为kp（r）≥-C/（1+r）α,从而补充了Mahaman、Zhang关于这类流形的研究结果.第二,研究具有非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形M.假设流形M满足次大体积增长,k p（r）≥-C/（1+r）α（α∈[0,2],C>0）,函数f（r）=vol[B（p,r）]/I n（r）rn-1是单调递减以及临界半径有正下界,利用截曲率的Toponogov型比较定理和Excess函数上界估计,再结合临界点理论,得到流形M微分同胚于Rn的结论.该结果将体积增长的速度改进到r[（1-α/2）?k?（n-2）]/（k+1）,从而丰富了Zhan和Xue关于这类流形的研究结果.第三,研究Ricci曲率有负下界的完备非紧黎曼流形M.假设流形M满足小的线性直径增长,利用Excess函数估计得到Ricci曲率有负下界的一致割引理,再结合射线密度函数以及半路引理,证明流形M的基本群是有限生成的,从而将Sormani的结果推广至Ricci曲率有负下界的情形.

陈欢欢^[3]（2018）在《体积增长的开流形的曲率与拓扑研究》文中进行了进一步梳理完备开Riemann流形的研究是现代微分几何的热门课题之一,而理解流形的曲率与拓扑关系又是这类问题中的研究热点.本文主要探讨流形的曲率如何决定其拓扑性质,即在一定的体积增长条件下,并在某种曲率前提下,完备开Riemann流形具有有限拓扑型结果,或微分同胚于Rn的结论.具体的研究工作和创新点如下:1.针对大体积增长方面,本文主要研究Ricci曲率有负常数下界的n维完备开Riemann流形的拓扑型问题.若流形M满足射线截面曲率有负下界及一定的大体积增长条件,利用射线截面曲率的Toponogov型比较定理,得到Excess函数下界估计,再结合临界点理论,证明了流形M微分同胚于Rn.该结果改进了曲率限制条件以及体积增长条件,推广了Ricci曲率有负常数下界的Riemann流形在大体积增长条件下的部分结论.2.针对次大体积增长方面,本文主要研究具有非负Ricci曲率的n维完备开Riemann流形的拓扑型问题.若流形M满足α次衰减截曲率有下界及一定的次大体积增长条件,利用Busemann函数与两点间的Excess函数的关系,再结合临界点理论,证明了流形M具有有限拓扑型.该结果丰富了满足α次衰减截曲率有下界的Riemann流形在次大体积增长条件下的部分结论.3.针对加权大体积增长方面,本文主要研究具有非负Bakry-Emery Ricci曲率的n维完备开Riemann流形的拓扑型问题.若流形M满足射线截面曲率有负下界及一定的加权大体积增长条件,利用距离函数的临界点理论,再结合推广的Excesss函数上界估计,证明了流形M具有有限拓扑型.该结果推广了具有非负Ricci曲率的Riemann流形在大体积增长条件下的一些经典结论.

陈欢欢,薛琼,陈爱云,李奥^[4]（2018）在《射线截曲率有负下界且大体积增长的开流形》文中指出研究一类具有RicM≥-（n-1）c和大体积增长的完备非紧黎曼流形.证明在射线截面曲率有负下界以及流形M上测地球与欧氏空间上单位球的体积增长相差不大的条件下,流形M微分同胚于Rn.将曲率条件及体积增长条件改进,所得结果是文献（Xia C.London Math Soc,2002,34（2）:229-235.）中相关结论的推广.

薛琼,陈欢欢,陈爱云,肖小峰^[5]（2016）在《次大体积增长的流形的曲率与拓扑研究》文中研究指明该文研究了一类具有非负Ricci曲率和α（α∈[0,2]）次衰减截曲率下界的完备非紧黎曼流形.利用Toponogov型比较定理和临界点理论,证明了该流形在一定次大体积增长条件下具有有限拓扑型,从而推广了J.Sha、Z.Shen和C.Xia的关于这类流形的一系列结果.

陆亚哲^[6]（2012）在《正曲率黎曼流形拓扑结构的研究》文中指出本文的主要工作是运用体积比较定理,Toponogov三角形比较定理双曲几何上的余弦定理和几何、拓扑的基本知识研究正曲率黎曼流形上的球面定理和微分球面定理。得到结论如下：1.设M是紧致单连通的2n维的黎曼流形,存在仅依赖于2n的正常数η,其截曲率KM满足0<KM≤1Ricci曲率体积则M同胚于单位球面S2n。用反证法证明分两步进行：第一步证明假设成立时,证明流形的直径di满足第二步主要运用体积比较定理,Toponogov三角形比较定理和双曲几何上的余弦定理证明与第一步的结论矛盾,所以假设不成立,即得主要定理成立。这个结论证明了截面曲率加以限制,体积条件进一步放松时,球面定理依然成立。2.M是n维完备连通的黎曼流形,对任意n≥2,存在仅依赖于n的使得对任意若其径向曲率Ricci曲率共轭半径且M包含长为2（π-ε）的测地回路,则M微分同胚于单位球面Sn。这个定理的结果是由几个结论直接推出的。根据定理得M微分同胚于单位球面Sn,其中根据引理能证明即曲率条件减弱,M依然微分同胚于单位球面Sn。直接应用定理还可得出下面两个推论：（1）若M是n维完备黎曼流形,存在仅依赖于n,i0的ε>0,若则M微分同胚于单位球面Sn。（2）M是n维完备黎曼流形,给定k∈R+,v>0,存在依赖于n,k,v的ε>0,使得若且,则M微分同胚于单位球面Sn。

詹华税,许文彬^[7]（2009）在《具非负Ricci曲率和严格（1+δ）阶体积增长的三维流形》文中指出本文研究了三维完备非紧具非负Ricci曲率的黎曼流形的几何拓扑性质.通过对流形本身与流形的万有覆盖空间体积增长阶的比较,证明了对具非负Ricci曲率和严格（1+δ）阶体积增长的三维完备非紧的黎曼流形是可缩的.

薛琼^[8]（2008）在《关于体积增长的流形的曲率与拓扑研究》文中指出在本文中，我们较系统地研究了具有非负Ricci曲率的完备非紧Riemann流形在体积增长条件下的拓扑结构．第一，我们研究了具有非负Ricci曲率和大体积增长的完备非紧Riemann流形Mn，如果Mn满足对某个p∈M有Kpmin≥-C（C>0）及一定的大体积增长条件，我们证明了Mn具有有限拓扑型；如果Mn满足共轭半径conjM≥i0>0，临界半径critp≥r0>0及一定的大体积增长条件，我们证明了Mn微分同胚于Rn，这些是[47]和[36]中部分结果的推广．另外，我们还证明了：如果Mn满足对某个p∈M和任意r>0有kp（r）≥-C/（1+r）α，其中C>0，0≤α≤2，则Mn在一定大体积增长条件下必微分同胚于Rn．这个结论将C．Xia[56]的定理推广到一般．第二，我们应用Gromov-Hausdorff收敛性和Toponogov型比较定理得到临界半径Cp的一个上界估计，结合距离函数与临界点的关系，得到具有非负Ricci曲率且满足αM>1/2的完备非紧Riemann流形在几个距离函数（Excess函数等）有限的条件下微分同胚于Rn的结果，从而进一步支持P．Petersen[40]的猜想．第三，我们应用大体积增长条件下的研究方法，讨论具有非负Ricci曲率和次体积增长的完备非紧Riemann流形的拓扑结构，得到有关有限拓扑型和基本群的结论，改进了H．Zhan和Z．Shen[65]的定理．

詹华税^[9]（2008）在《具非负Ricci曲率和强有界几何条件的流形》文中认为设M是具非负Ricci曲率的n维完备非紧黎曼流形,若M具次大体积增长vol[B（p,r）]≥βMrn-1,■p∈M,■r≥1和满足强有界几何条件,则M具有限拓扑型.

许文彬^[10]（2007）在《具非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形》文中指出几何学研究的一个中心问题是曲率与拓朴性质之间的关系.本文讨论了具非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形的体积增长与其拓扑性质之间的关系.通过对测地球内的由球心点出发的最短测地线集合的测度与非最短测地线的测度的比较分析,根据距离函数临界点理论所隐含的拓扑性质,在大体积增长的情况下,得到流形拓扑的有限性.

二、具非负Ricci曲率的大体积增长之黎曼流形研究的进展（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、具非负Ricci曲率的大体积增长之黎曼流形研究的进展（论文提纲范文）

（1）具某些曲率界完备流形的几何与拓扑（论文提纲范文）

（2）在不同曲率以及体积增长条件下黎曼流形的拓扑研究（论文提纲范文）

（3）体积增长的开流形的曲率与拓扑研究（论文提纲范文）

（4）射线截曲率有负下界且大体积增长的开流形（论文提纲范文）

（5）次大体积增长的流形的曲率与拓扑研究（论文提纲范文）

（6）正曲率黎曼流形拓扑结构的研究（论文提纲范文）

（8）关于体积增长的流形的曲率与拓扑研究（论文提纲范文）

（9）具非负Ricci曲率和强有界几何条件的流形（论文提纲范文）

（10）具非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形（论文提纲范文）

四、具非负Ricci曲率的大体积增长之黎曼流形研究的进展（论文参考文献）

• [1]具某些曲率界完备流形的几何与拓扑[D]. 蒋辉宏. 上海交通大学, 2019(06)
• [2]在不同曲率以及体积增长条件下黎曼流形的拓扑研究[D]. 陈爱云. 武汉理工大学, 2019(07)
• [3]体积增长的开流形的曲率与拓扑研究[D]. 陈欢欢. 武汉理工大学, 2018(07)
• [4]射线截曲率有负下界且大体积增长的开流形[J]. 陈欢欢,薛琼,陈爱云,李奥. 四川师范大学学报(自然科学版), 2018(01)
• [5]次大体积增长的流形的曲率与拓扑研究[J]. 薛琼,陈欢欢,陈爱云,肖小峰. 华中师范大学学报(自然科学版), 2016(05)
• [6]正曲率黎曼流形拓扑结构的研究[D]. 陆亚哲. 西南交通大学, 2012(10)
• [7]具非负Ricci曲率和严格（1+δ）阶体积增长的三维流形[J]. 詹华税,许文彬. 数学杂志, 2009(01)
• [8]关于体积增长的流形的曲率与拓扑研究[D]. 薛琼. 华中师范大学, 2008(06)
• [9]具非负Ricci曲率和强有界几何条件的流形[J]. 詹华税. 数学年刊A辑（中文版）, 2008(04)
• [10]具非负Ricci曲率的完备非紧黎曼流形[J]. 许文彬. 厦门大学学报(自然科学版), 2007(05)

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